为什么 ∑1u\sum \frac{1}{u}∑u1（即 ∑1n\sum \frac{1}{n}∑n1，通常称为调和级数）是发散的？
✅ 一、首先明确你问的是这个级数：
∑n=1∞1n
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
n=1∑∞n1
这个级数叫作调和级数（Harmonic Series）。它的每一项都趋近于 0，但整个级数仍然发散！
✅ 二、调和级数发散的经典证明（对比法）
我们用一种简单的分组对比法来说明：
∑n=1∞1n=1+12+(13+14)+(15+16+17+18)+⋯>1+12+2⋅14+4⋅18+⋯=1+12+12+12+⋯=∞
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
&= 1 + \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right) + \cdots \\
&> 1 + \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{8} + \cdots \\
&= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots = \infty
\end{aligned}
n=1∑∞n1=1+21+(31+41)+(51+61+71+81)+⋯>1+21+2⋅41+4⋅81+⋯=1+21+21+21+⋯=∞
结论： 每一组的和都 ≥ 12\frac{1}{2}21，不断累加会趋于无穷大，所以发散。
✅ 三、常见误区：项趋近于 0 不代表级数收敛！
很多同学会说：
“它的每一项 1n→0\frac{1}{n} \to 0n1→0，为什么还会发散？”
❗注意：
这是级数学习中的最大陷阱之一。级数是否收敛，不仅看项是否趋近于0，还要看它“趋近于0得多快”。像 1n2\frac{1}{n^2}n21、1np(p>1)\frac{1}{n^p} (p > 1)np1(p>1) 这样下降快的，才可能收敛。
✅ 四、延伸：∑1np\sum \frac{1}{n^p}∑np1 的收敛性
级数是否收敛？∑1n\sum \frac{1}{n}∑n1❌ 发散∑1n2\sum \frac{1}{n^2}∑n21✅ 收敛（著名的 π26\frac{\pi^2}{6}6π2）∑1n1.0001\sum \frac{1}{n^{1.0001}}∑n1.00011✅ 收敛∑1n0.999\sum \frac{1}{n^{0.999}}∑n0.9991❌ 发散📌 总结：
若 ∑1np\sum \frac{1}{n^p}∑np1，当且仅当 p>1p > 1p>1 时，才收敛。
✅ 五、应用在考试中：
题型是否能快速判断∑1n\sum \frac{1}{n}∑n1❌ 发散∑1n2\sum \frac{1}{n^2}∑n21✅ 收敛∑(−1)n⋅1n\sum (-1)^n \cdot \frac{1}{n}∑(−1)n⋅n1✅ 收敛，但条件收敛∑1n\sum \frac{1}{\sqrt{n}}∑n1❌ 发散
✅ 六、总结
∑1n\sum \frac{1}{n}∑n1 是调和级数，发散，这是基础常识，要熟记。每一项趋于0 ≠ 级数收敛，必须结合“下降速度”判断。在考试中，看到类似 1np\frac{1}{n^p}np1 形态，第一反应就是看 ppp 是否大于1。
如你想了解它发散的积分法证明，或与交错调和级数的对比，我也可以继续讲。是否继续？